Robert Sajko
Da bismo mogli formalno opisati propagaciju svjetlosti
kroz prostor, i time izgraditi teorijski model osvjetljenja pogodan za
računalnu simulaciju, potrebno je prvo sagledati i točno definirati pojam
svjetlosti, način propagacije svjelosti,
te sve pojave i učinke koji se pritom javljaju. Postoji više interpretacija,
razvijanih tokom stoljeća. Najjednostavnije shvaćanje svjetlosti jest u okviru
geometrijske optike. Svjetlost se predstavlja skupom svjetlosnih zraka –
diskretnih, apstraktnih objekata bez mase i dimenzija. S druge strane, u okviru
fizikalne optike, svjetlost je shvaćena kao elektromagnetsko zračenje, te se
sukladno tome, širenje svjetlosti shvaća kao širenje vala. Svjetlosne 'zrake'
su tada ništa drugo doli aproksimacija valnih fronta svjetlosti. Treće
shvaćanje svjetlosti dolazi iz kvantne fizike, a ono kaže da je svjetlost skup
elementarnih čestica, 'paketića' energije, zvanih fotoni. Trenutno najpotpuniji
model svjetlosti jest kombinacija valne i čestične interpretacije prirode
svjetlosti. Neovisno o modelu interpretacije, svjetlost pokazuje određena
svojstva i učinke koji se javljaju prilikom njena gibanja. Najosnovnija
svojstva su refleksija i refrakcija. Refleksija se definira kao promjena smjera širenja
svjetlosne zrake (tj. vala), na granici dvaju sredstava. Ovo je najučestaliji
primjer optičkih efekata – svjetlost putuje zrakom, doseže površinu nekog
objekta, te se odbija, mijenjajući smjer svog širenja. Matematički, ta se
promjena smjera opisuje pomoću dviju veličina – upadnog kuta, i kuta
refleksije. Ti se kutevi definiraju s obzirom na normalu površine na koju
svjetlost upada. Zakon refleksije jednostavno kaže: upadni kut je jednak kutu
refleksije (Slika 2).
Međutim, valja imati na
umu da većina realnih tijela imaju površine koje nisu savršeno glatke. To znači
da će normale na površinu biti različite za pojedine upadne zrake svjetlosti, a
to nadalje znači i da će kutevi refleksija biti različiti za pojedine zrake,
makar sve imaju iste upadne kuteve s obzirom na ravninu površine tijela. Drugim
riječima, na grubim površinama će reflektirane zrake biti raspršene u
različitim smjerovima (Slika 3). Iz tog razloga, možemo reći da postoje dvije
različite vrste refleksija: zrcalna refleksija, i difuzna refleksija. Kod
idealno zrcalne refleksije, savršeno glatko tijelo reflektira sve zrake u istom
smjeru, dok kod idealno difuzne refleksije, savršeno difuzno tijelo reflektira
zrake svjetlosti jednoliko u svim smjerovima, čineći da se svjetlost širi iznad
tijela u obliku polukugle. Primjer gotovo idealne zrcalne refleksije su ogledala,
dok bi primjer difuzne refleksije bilo neobrađeno drvo. Dakako, svi realni
predmeti pokazuju obje komponente refleksije, ali u različitim omjerima.
Vezano uz refleksiju, valja spomenuti još i učinak pretapanja
boja. Naime, ukoliko se dva predmeta nalaze blizu jedan drugoga, očito je da se
može dogoditi da zrake svjetlosti reflektirane od jednog predmeta upadnu na
drugi. U slučaju zrcalne refleksije, cjelokupna slika predmeta će biti reflektirana
prema drugom predmetu (primjerice, ako postavimo dva ogledala jedno pored
drugog, vidjet ćemo u njima sliku u slici u slici, u beskonačnost). No, u
slučaju difuzne refleksije, efekt je mnogo suptilniji. Budući da nema jasne,
usmjerene slike, nego samo širok prostor razasutih zraka, ti će predmeti
utjecati jedan na drugoga samo blagom promjenom percipirane boje. Primjerice,
ako pored izvora bijele svjetlosti stavimo bijeli papir, te mu približimo jarko
crveni predmet (poput crvenog flomastera), papir će na jednom dijelu poprimiti
blago crvenkastu boju. Ovaj se efekt naziva pretapanje boja.
Sljedeće osnovno svojstvo
koje pokazuje svjetlost jest refrakcija. To je pojava koja se javlja kad
svjetlost prelazi iz jednog propagacijskog sredstva u drugo, i time mijenja
brzinu. Naime, za svako sredstvo se može definirati tzv. indeks loma, koji
govori koliko će dano sredstvo usporiti gibanje svjetlosti. Dakle, indeks loma
se definira na sljedeći način:
Zakon
refrakcije kaže da će se zbog promjene brzine gibanja svjetlosti, promijeniti i
njen smjer širenja. Ukoliko definiramo upadni kut i kut refleksije s obzirom na
normalu granice između dvaju sredstava, onda će vrijediti da se sinus upadnog
kuta prema sinusu kuta refrakcije odnosi kao upadna brzina svjetlosti prema
izlaznoj brzini. Ukoliko upadnu i izlaznu brzinu izrazimo pomoću indeksa loma,
zakon refrakcije možemo formulirati ovako:
Međutim,
treba imati na umu da u većini realnih situacija, upadna zraka svjetlosti neće
biti isključivo reflektirana, niti isključivo refraktirana, već će se dogoditi
obje pojave. Totalna refleksija i totalna refrakcija su moguće samo u nekim
posebnim slučajevima, kad su ispunjeni određeni uvjeti. Ti su uvjeti za totalnu
refleksiju sljedeći: upadni kut svjetlosti mora biti veći od kritičnog kuta, te
indeks loma prvog sredstva mora biti veći od indeksa loma drugog sredstva.
Pritom je kritični kut dan sljedećim izrazom:
gdje
je n1 indeks loma prvog sredstva, a n2 indeks loma drugog sredstva. Za totalnu
refrakciju postoji samo jedan uvjet, a taj je da jedno od sredstava propagacije
svjetlosti između kojih svjetlost prolazi ima negativni indeks loma. U prirodni
ne postoje tvari s takvim svojstvom, no, laboratorijski je moguće proizvesti određene
materijale koji imaju negativni indeks loma. Zanimljiv
optički fenomen direktno vezan uz refrakciju (i refleksiju) jest kaustika.
Kaustika je ovojnica zraka svjetlosti refraktiranih, ili reflektiranih, od
zaobljene površine. Također, pod kaustikom se može podrazumijevati i projekcija
te ovojnice na neku drugu površinu. Dobar primjer kaustike može proizvesti
prazna staklena čaša na praznom stolu, na koju upada sunčeva svjetlost. Radi
opetovanih refrakcija i refleksija zraka svjetlosti uvjetovanih strukturom
čaše, izlazne zrake svjetlosti mogu na stolu projicirati neobičan oblik. Takvi
se oblici općenito nazivaju kaustika (Slika 5).
Osim
refleksije i refrakcije, dvaju najosnovnijih pojava koje dobro opisuju i
geometrijska i fizikalna optika, svjetlost pokazuje i svojstva difrakcije i
interferencije, koja se ne mogu objasniti geometrijskom optikom. Naime,
difrakcija je pojava savijanja vala zbog neke prepreke. Premda je difrakcija
uvijek prisutna, njeni su učinci primjetljivi tek ako je red veličine dimenzija
prepreke jednak redu veličine valne duljine vala. Najpoznatiji primjer učinaka
difrakcije bi bila stražnja strana CD-a, koja promatrana ispod izvora bijele
svjetlosti stvara efekt duginih boja. Značajna primjena difrakcije su i
hologrami, koji se primjerice koriste za zaštitu e-indeksa. Učinci difrakcije
su uzrokovani interferencijom valova svjetlosti. Interferencija je
superpozicija (zbrajanje) dvaju valova koji su međusobno koherentni (imaju istu
frekvenciju). Ukoliko dva vala iste valne duljine, odaslana iz istog izvora,
poradi neke prepreke budu savinuti (difrakcija), te se tako desi da propagiraju
kroz isti prostor, s istim amplitudama i frekvencijama (jer imaju i iste valne
duljine), ali međusobno pomaknuti u fazi, bit će ispunjeni uvjeti za
interferenciju, pa će se interferencija i dogoditi. Očito, ovisno o pomaku u
fazi, na nekim mjestima će i prvi i drugi val oba imati pozitivnu ili negativnu
amplitudu, dok će na drugim mjestima jedan imati pozitivnu, a drugi negativnu
amplitudu. To znači da će na nekim mjestima rezultirajući val imati povećanu
amplitudu, a na nekim mjestima umanjenu amplitudu. Na primjeru CD-a, upadni
valovi svjetlosti dopiru do premaza na stražnjoj strani CD-a, te zbog njegove
mikroskopske strukture bivaju savinuti, dakle dolazi do difrakcije, što
rezultira interferencijom. Upravo te valove koji nastaju kao rezultat
interferencije percipiramo kao dugine boje. Dakako, defrakcijom i
interferencijom se mogu objasniti i zakoni refleksije i refrakcije, koji
vrijede ako je prepreka mnogo većih dimenzija od valne duljine vala. Još
jedna pojava vezana uz propagaciju svjetlosti, a koja se može objasniti
isključivo valnom prirodom svjetlosti, jest polarizacija. Naime, općenito
govoreći, valovi se mogu podijeliti na progresivne (putujuće) i stacionarne, a
među progresivnima razlikujemo transverzalne i longitudinalne. Svjetlost jest
progresivni, transverzalni val, što znači da se njegovo električno i magnetsko
polje mijenjaju periodički u smjerovima okomitim na smjer gibanja vala. Kod
nepolarizirane svjetlosti, vektori električnog i magnetskog polja zauzimaju s
jednakom vjerojatnošću bilo koji smjer okomit na vektor širenja vala. To znači
da se prirodna, nepolarizirana svjetlost sastoji od valova koji titraju u svim
ravninama. S druge strane, polarizirana svjetlost je takva čiji valovi titraju
u samo jednoj ravnini. Do polarizacije svjetlosti dolazi refleksijama i
refrakcijama. Primjerice, odbljesak Sunca na površini mora jest polarizirana
svjetlost. Iz tog razloga, kvalitetnije sunčane naočale su zapravo
polarizacijski filtri, čime se ublažuju neugodni odbljesci. Inače, golim
ljudskim okom je gotovo nemoguće razlikovati polariziranu od nepolarizirane
svjetlosti – potrebne su posebne vježbe da bi osoba naučila zapažati veoma
suptilni efekt pri promatranju polarizirane svjetlosti, nazvan Haidingerova
četka. Potrebno
je spomenuti da u većini situacija, samo će dio upadne svjetlosti biti
refleksiran i refraktiran, dok će ostatak biti absorbiran. Objašnjenje ove pojave
daje čestična teorija svjetlosti – fotoni prilikom sudaranja s atomima mogu
predati svoju energiju elektronu i time nestati, ili samo promijeniti smjer i
brzinu. Naime, možemo zamisliti da se elektroni nalaze raspoređeni oko jezgre
atoma ne na proizvoljnim udaljenostima, već u diskretnim razinama. Da bi
elektron prešao iz niže u višu razinu, potrebno je da foton koji se sudari s
njim ima točno odgovarajuću količinu energije, koja odgovara razlici više i
niže energetske razine elektrona. Prijelazom elektrona iz niže u višu
energetsku razinu, povećava se ukupna unutarnja energija tijela, odnosno,
povećava se njegova toplina. U obrnutom slučaju, ukoliko elektron prelazi iz
više u nižu razinu, višak energije se oslobađa u obliku fotona, čija je
energija točno jednaka razlici energija više i niže razine. U ovim činjenicama
leži razlog zašto različiti predmeti imaju različitu boju. Naime, bijela
svjetlost sadrži sve vidljive valne duljine, što znači fotone svih frekvencija.
Budući da je frekvencija fotona proporcionalna njegovoj energiji, a atom može
absorbirati foton samo točno odgovarajuće energije (što ovisi o vrsti atoma),
očito je da će samo dio fotona iz bijele svijetlosti biti absorbiran, a ostatak
će biti odbijen, dakle, promijenit će im se smjer i brzina. Koje valne duljine
svjetlosti će biti absorbirane, a koje reflektirane i refraktirane, ovisi o
vrsti materijala, odnosno, o vrsti atoma od kojih je materijal sačinjen. Sada
možemo objasniti i pojavu ispodpovršinskog raspršivanja svjetlosti. Naime, kako
fotoni upadaju na tijelo, neki bivaju absorbirani, dok se drugi odbijaju od
atoma. Moguće je da neki od tih fotona nastave putovati unutar samog tijela,
dakle ispod njegove površine. Drugim riječima, svjetlost kroz neka tijela može
barem djelomično prolaziti, te se takva tijela nazivaju (djelomično) prozirna.
U stvarnosti, sva su tijela prozirna bar u nekoj malenoj mjeri. Očitovanje djelomične prozirnosti jest upravo u tome što
se dio upadnih fotona raspršuje ispod površine tijela, te nakon opetovanih sudara
napušta tijelo. Ova je pojava sveprisutna, iako je u većini slučajeva slabo
zamjetna. Ispodpovršinsko raspršivanje se najčešće asocira s organskim
materijalima, poput kože ili voska, ali i tvarima poput gume, mramora i slično.
Na slici 6 možemo vidjeti dobar primjer homogenog raspršivanja svjetlosti kroz
volumene dviju kocaka, unutar kojih naziremo obrise sadržanih neprozirnih
tijela (u jednoj kugla, u drugoj stožac). Te unutarnje obrise raspoznajemo
upravo radi efekta ispodpovršinskog raspršivanja svjetlosti.
Ovime smo ukratko pokrili
sve bitne učinke i svojstva svjetlosti, promatrane kroz realne fizikalne
modele. Budući da je naša primarna zadaća izraditi teorijski model osvjetljenja
za koji je ključno da bude pogodan generiranju računalne grafike, već u ovome
stadiju možemo uvesti određene aproksimacije. Naime, možemo primijetiti da
većina pojava koje se mogu simulirati isključivo izračunom valnih svojstava
svjetlosti, su ili ionako gotovo nemoguće za primijetiti (polarizacija
svjetlosti), ili su izražajne tek u nekim posebnim slučajevima (primjerice,
difrakcija svjetlosti na poleđini CD-a). Iz tog razloga, mnogo je isplativiji
pristup simulacije isključivo geometrijske optike (što je računalno mnogo manje
zahtjevno), te rješavanja posebnih slučajeva u kojima geometrijska optika nije
dostatna raznim trikovima, kao što su pažljivo teksturiranje i slično. Sad kad smo odredili
glavne smjernice našeg modela osvjetljenja, možemo pokušati sažeti načela geometrijske
optike u jedinstven matematički zapis. Prema dosad rečenome, možemo ponešto
zaključiti o tome koliko bi bilo ukupno osvjetljenje u danoj točki prostora.
Naime, znamo da je ukupna izlazna svjetlost u bilo kojoj točki prostora jednaka
zbroju emitirane svjetlosti (što može biti nula, ukoliko nije riječ o izvoru
svjetla), te doprinosima svih svjetlosnih zraka koje upadaju na tu točku, a
mogu biti rezultat direktnog osvjetljenja drugim izvorom svjetlosti, ili pak
rezultat (višestruke) refleksije svjetlosti od objekata na sceni. Također,
znamo da se svjetlost reflektira od različitih objekata na drugačiji način, pa
možemo definirati funkciju distribucije refleksivnosti (eng. bidirectional
reflectance distribution function, BRDF), koja govori u kojoj mjeri se
svjetlost reflektira od danog materijala. Sve dosad rečeno možemo formalno
zapisati na sljedeći način:
gdje je:
Iako ovu jednadžbu nije teško
postaviti, mnogo je veći problem točno je riješiti. Naime, ne samo da je
problematično iznaći analitičko rješenje i prevesti ga u jednostavne operacije
zbrajanja i množenja, koje računala mogu efikasno izvršavati, već vidimo i da
potencijalna kompleksnost izračuna rješenja strmoglavo raste s kompleksnosti i
međuodnosima objekata na sceni. Dakle, vidimo da smo suočeni s dva problema –
prvi problem jest pronaći način za efikasno numeričko rješavanje dane
integralne jednadžbe osvjetljenja. Drugi problem proizlazi iz zahtjeva za
interaktivnošću – izvršavanje ovih izračuna mora biti u realnom vremenu. S
vremenom se razvilo nekoliko pristupa i algoritama u računalnoj grafici, koji
ili favoriziraju kvalitetu prikaza nauštrb interaktivnosti, ili pružaju
interaktivnost nauštrb kvalitete. U prvoj skupini se nalaze algoritmi i metode
koje pokušavaju raznim numeričkim metodama direktno riješiti jednadžbu
iscrtavanja, te se zajednički nazivaju metode globalnog osvjetljenja.
Primjerice, tu spadaju direktna simulacija geometrijske optike (ray traycing i
srodni algoritmi), razne Monte Carlo metode (path tracing, photon mapping), te
metode konačnih elemenata (radiosity). U drugu skupinu spadaju takozvani
lokalni modeli osvjetljenja, koji su nastali kao aproksimacija jednadžbe
iscrtavanja. Najosnovniji takav model jest Lambertov model refleksije, no mnogo
popularnija je njegova proširena verzija poznata kao Phongov model. U sljedećim
poglavljima će detaljnije biti objašnjene obje skupine algoritama, te prikazani
pokušaji premošćivanja jaza između interaktivnosti i globalnog osvjetljenja. |