Kruti fluidi

Da bi efikasno simulirali međudjelovanje krutih tijela i fluida, kruta tijela ćemo tretirati kao da su fluidi uz promjenu brzina fluida unutar krutih tijela. Koristi ćemo tehniku poznatu kao Kruti fluidi, koja je dobila ime po načinu na koji se mijenjaju (ograničavaju) brzine unutar fluida da budu brzine krutih tijela.

Domene Krutih fluida

Slika 7: Žuto područje je domena fluida, plavo područje je domena krutih tijela; primijetimo da drveni blokovi koji ne dodiruju fluid ne spadaju u domenu krutih tijela.


Dva su dijela računske domene, vidi sliku 7. Dio koji sadrži samo fluide je , a unija ćelija koje sadrže kruta tijela je domena krutih tijela . Domene  i  su disjunktne i zajedno tvore računsku domenu . Granica koja razdvaja  i  je .

Ograničenja dinamike krutih tijela

Kao što smo u prošlom poglavlju vidjeli postoje dva dijela računske domene. U ovom poglavlju ćemo opisati po čemu se razlikuje domena krutih tijela  od domene fluida . Navier-Stokes-ove jednadžbe rješavamo u obje domene, ali na primjenjujemo i ograničenje krutosti pomoću operatora deformacije .

Kada simuliramo kretanje krutog tijela, najlakše ga je predstaviti kao translaciju i rotaciju oko središta mase krutog tijela. Predstavljajući kretanje svih točaka unutar krutog tijela na ovaj način skrivamo kompleksnost dinamike krutog tijela. Svi simulatori dinamike krutog tijela implicitno provode krutost tijela ograničavajući njegovo kretanje na translacije i rotacije oko središta mase.

S druge strane, metoda Krutih fluida, rješava dinamiku gibanja krutih tijela pomoću Navier-Stokes-ovih jednadžbi (1, 2). Navier-Stokes-ove jednadžbe dopuštaju i deformacije u brzinama fluida tako da se krutost krutog tijela mora eksplicitno primijeniti pomoću Lagrange-ovog multiplikatora. Uvjet krutosti je vrlo sličan uvjetu nestlačivosti. Uvjet krutosti je ipak jače ograničenje jer ne dozvoljava ni divergenciju ni deformaciju. Krutost tijela uvjetuje da za svaku točku  unutar krutog tijela vrijedi sljedeća relacija:

(41)

za neku konstantnu vrijednost  i . U danoj jednadžbi  je brzina u točki ,  je vektor koji pokazuje od središta mase krutog tijela, , do ,  je translacijska brzina, a  je kutna brzina oko  duž osi  i vrijednošću .

Uvjet krutosti se može izraziti pomoću operatora deformacije, , definiranog za vektorsko polje  sa

(42)

Ovaj 3 x 3 simetrični tenzor mjeri prostornu deformaciju od u. Ograničenje

(43)

garantira da je gibanje unutar  doista i gibanje krutog tijela. Ne govori nam kakvo je to gibanje, ali znamo da mora vrijediti jednadžba (41), tj. ako znamo pozicije točaka gdje je u definirano i njihov relativan položaj prema centru mase krutog tijela, onda postoje translacijska brzina  i kutna brzina  koje možemo izračunati.

Osnovne jednadžbe krutih fluida

U ovom poglavlju predstavit ćemo osnovne jednadžbe koje čine samu srž metode krutih fluida. Jednadžba očuvanja momenta je definirana kao

(44)

u domeni fluida i

(45)

u domeni krutih tijela, gdje je  gustoća fluida, a  gustoća krutog tijela. Izraz za difuziju je uklonjen iz jednadžbe (45) zato što uvjet krutosti eliminira Newton-ovu viskoznu disipaciju, ali zato je tu dodatni član zbog deformacijskog naprezanja unutar krutog tijela koji je potreban da bi zadržali krutost. Implicitno definiramo  kao taj dodatni član deformacijskog naprezanja.

Budući da je ograničavanje deformacije koje primjenjujemo na domeni krutog tijela jače od ograničavanja divergencije, možemo primijeniti uvjet ograničavanja divergencije  u cijeloj domeni:

(46)

Granični uvjeti između krutih tijela i fluida definirani su sa

(47)

gdje je 1 jedinični tenzor,  i n su brzina i normala na , i t je sila kojom fluid djeluje na tijelo koja je zbroj projiciranog viskozne napetosti i tlaka. Možemo  napisati sličan uvjet za silu kojom kruto tijelo djeluje na fluid koja mora biti jednaka i suprotna sili t. Ipak, nećemo morati direktno primjenjivati granične uvjete iz jednadžbe (47) jer će oni biti približno obuhvaćeni metodom projekcije opisanom kasnije u tekstu.

Implementacija Krutih fluida

Jednadžbe (43 – 47) su osnovne jednadžbe za sve pokretne objekte u ovoj simulaciji, i fluida i krutih tijela. Jednažbe rješavamo u tri koraka. prvo riješimo Navier-Stokes-ove jednadžbe (1, 2) za cijelu domenu . Tijekom prvog koraka kruta tijela tretiramo kao da su fluidi. Zatim izračunamo sile krutih tijela koje potječu od kolizija i relativne gustoće i dodamo ih ćelijama koje se nalaze unutar krutih tijela. I na kraju ograničimo brzine na tim lokacijama da budu brzine krutih tijela. Ta tri koraka pomiču simulaciju u vremenu iz , prolazeći pritom kroz dva međustanja  i .

Rješavanje Navier-Stokes-ovih jednadžbi:

Prvi korak je rješavanje Navier-Stokes-ovih jednadžbi. Taj problem smo detaljno opisali u 3. poglavlju. Sastoji se od dva dijela. Prvi dio je izračunavanje približne brzine (jednadžbe 25 – 27). Drugi korak je projiciranje tlaka kako bi se dobile brzine bez divergencije. Pri tome treba paziti na dva uvjeta za vremenski korak . Prvi je tzv. CFL uvjet (jednadžba 19) a drugi (jednadžba 20) nastaje zbog korištenja Euler-ove metode za izračun difuzije. Nakon završetka ovog koraka imamo polje brzina  u  bez divergencije, ali to nisu konačne brzine zato što u obzir nisu uzete sile kolizije i sile koje nastaju zbog relativne gustoće niti su brzine u  ograničene na kretanja krutih tijela.

Izračunavanje sila krutih tijela:

Tijekom jednog vremenskog koraka, manipulator krutih tijela primjenjuje sile kolizije dok ažurira njihove pozicije. Te sile moraju biti uključene u polje brzine kako bi pravilno prenesle moment između domena krutih tijela i fluida.

Za svaku silu kolizije, , koja se primjeni na neko od  krutih tijela, čuvamo sumu akceleracija za pojedino tijelo kreiranih tijekom vremenskog koraka:

(48)

gdje je , a  je masa krutog tijela na koji je sila primjenjena.

Analogno, za svaku silu primijenjenu u točki , čuvamo sumu kutnih akceleracija koje ta sila kreira oko središta mase datog tijela:

(49)

gdje je  moment inercije i-tog krutog tijela, u njegovom trenutnom položaju, a  je centar mase tog tijela.

Sile koje nastaju zbog relativne gustoće se isto moraju uračunat. Relativna gustoća krutog tijela je omjer njegove gustoće naspram gustoće fluida koji ga okružuje, . Ako je relativna gustoća veća od 1, tijelo će potonuti, a ako je manja od 1 tijelo će plutati. Što je relativna gustoća veća to fluid sve teže pomiče kruto tijelo. Relativna gustoća i sile kolizije u  su sadržane u slijedećem izrazu:

(50)

gdje su vektori  usmjereni od centra mase i-tog tijela prema točkama mreže, , unutar domene datog krutog tijela . Rješenje jednadžbe (50) je direktno jer su sve varijable sa desne strane poznate.

Koristeći S izračunamo novo polje vektora brzina:

(51)

gdje je w broj između 0 i 1 koji predstavlja postotak volumena ćelije zauzet krutim tijelom.

Dobivena brzina  ima svojstvo očuvanja momenta, ali još uvijek to nije brzina krutog tijela tako da moramo završiti još jedan korak.

Ograničavanje brzina na brzine krutih tijela:

Zadnji korak je pronalazak nepoznate sile R koja održava krutost tijela kako bi brzine stvarno i bile brzine krutog tijela. Konačna brzina je onda:

(52)

ali još uvijek ne znamo kako izračunat R.

Jednadžba (52) je projekcija koja osigurava krutost na sličan način kao što projekcija tlaka, jednadžba (29), osigurava uvjet divergencije. Ograničenje primijenjeno projekcijom tlaka je , a kao Lagrange-ov multiplikator za osiguranje ograničenja je korišten tlak p. Da bi našli jednadžbu za p uzeli smo divergenciju jednadžbe (29) i uvrstili je u jednadžbu (31). Ograničenje koje moramo primijeniti sa projekcijom krutosti je jednadžba (43), a Lagrange-ov multiplikator je R, tako da primjenom jednažbe (43) na jednadžbi (52) dobivamo jednadžbu za R:

(53)

koja nam govori da je  traženo gibanje krutog tijela. Alternativno možemo rastaviti  u  na dva dijela:

(54)

gdje je  tražena brzina krutog tijela, a

(55)

nastaje zbog napetosti unutar  i uvjetuje krutost tijela.

Traženo rješenje jednadžbi (53, 55) za  i  mora očuvati moment i zbog toga ga možemo direktno izračunati. Ako napišemo jednadžbu (41) kao uniju širom pojedinog krutog tijela dobijemo slijedeći izraz:

(56)

za neki  i . Pošto moment mora biti očuvan,  i  za pojedino kruto tijelo dobijemo direktnim integriranjem  unutar traženog krutog tijela  pomoću jednadžbi:

(57)

(58)

gdje ,  i  su masa, moment inercije i gustoća -tog krutog tijela, a  je volumen ćelije ispunjen krutim tijelom:

(59)

Jednadžbe (57, 58) se izračunavaju zbrajanjem adekvatnih izraza za svaku ćeliju koja je potpuno ili djelomično unutar i-te domene krutog tijela .

Zato što jednadžba (52) mora očuvati moment, možemo koristeći jednadžbe (57, 58) direktno izračunati brzinu krutog tijela . Nakon toga tu brzinu raspodijelimo da bi dobili konačno rješenje:

(60)

koje očuva krutost tijela i moment unutar .

Milan Vukušić, Rujan 2007.
RAČUNALNA GRAFIKA    ::    ZEMRIS    ::    FER