|
Marker-And-Cell metoda ima dvije glavne komponente: ćelije, opisane u poglavlju 3.1. u kojima se prati brzina i tlak fluida, i veliku zbirku marker-čestica u tekućini koji označavaju koje ćelije su napunjene fluidom i prenose brzinu na prazne ćelije. Jedan vremenski pomak u simulacijama fluida se računa u nekoliko koraka, što ćemo sada spomenuti a kasnije će biti opisano s više detalja:
- Izabire se primjerena veličina koraka
- Čestice se pomiču prema trenutnim vektorima brzine
-
Svaka ćelija se označava i puni sa fluidom, ili ostaje prazna s obzirom na to dali određena ćelija sadrži čestice, i određuju se brzine za ćelije koje su sada pune fluida, a bile su prazne.
-
Određuju se granični uvjeti za sve čvrste predmete i stranice ćelija sa čije jedne strane je praznina a sa druge se nalazi fluid.
-
Vrijednosti brzina za ćelije koje sadrže fluid se ažuriraju prema jednadžbama (1) i (2).
Gore navedeni koraci se ponavljaju za svaki vremenski pomak u simulaciji.
Prvi korak je pronaći primjereni . Informacije unutar MAC mreže ne mogu putovati brže od toga. Da bi rješenje bilo dosljedno sa realnim rješenjem, mora se uvesti ograničenje poznato kao Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) uvjet. CFL uvjet ističe da vremenski korak mora biti dovoljno malen da informacije ne bi putovale preko nekoliko ćelija istovremeno. CFL uvjet glasi
|
(19) |
i to je prvo ograničenje koje stavljamo na  . Drugo ograničenje uvodi se zbog jednadžbe za konstantan viskozitet  . To ograničenje za stabilnost u 3D glasi
|
(20) |
U ovoj jednadžbi  ima istu ulogu kao i  u jednadžbi (16).
Nakon odabira vremenskog koraka, čestice se pomiču pomoću Runge-Kutta tehnike drugog stupnja. Poznate kao izmijenjeni Euler ili Midpoint metoda. Čestica kreće iz lokacije i pomiče se u dva koraka:
|
(21) |
Ako se lokacija nalazi unutar prazne ćelije, tada se drugi korak ne izračunava, zato jer se izvan ćelija sa fluidom ne mogu dobiti pouzdane brzine. Koristi se tehnika drugog stupnja, iz razloga što je to najviši stupanj koji se može postići kada se koristi linearna interpolacija da se dobiju vrijednosti brzina.
Kada se ažuriraju pozicije čestica za označavanje, one se koriste za identifikaciju ćelija sa i bez fluida. Ako ćelija sa fluidom ne sadrži čestice, tada ona postaje prazna ćelija, a ako ćelija koja je bila prazna sada sadrži najmanje jednu česticu, ona postaje ćelija sa fluidom. Kada se to dogodi moraju se odrediti brzine za do tada prazne ćelije. Svaka čestica za označavanje ima pridruženu brzinu, a kada se pronađe nova ćelija sa fluidom, brzine na stranicama se dobiju tako da se sve čestice za označavanje sakupe u čvorištima stranica. Ako se u blizini čvorišta ne nalazi niti jedna čestica za označavanje, koristi se brzina prve najbliže čestice. Položaji čestica u blizini površine daju vrlo detaljan oblik slobodnim površinama, mnogo detaljniji od onog kojeg daju same ćelije. To omogućuje MAC metodi da stvara detaljne površine fluida, a u isto vrijeme koristi grubu mrežu ćelija. Činjenica da čestice daju visoku razlučivost površinama fluida je vrlo važna i biti će objašnjena u slijedećim poglavljima.
Stranice ćelija kod kojih se fluid nalazi i s jedne i s druge strane opisane su u poglavlju 3.3.5. Ovaj dio se bavi stranicama ćelija koje s jedne strane imaju fluid a s druge čvrste zidove ili prazan prostor.
U MAC mreži bilo koja od ćelija može predstavljati nepremostivu zapreku za fluid. Konkretno, šest strana simulacijske mreže tretira se kao čvrsti zid. Raspravljat ćemo o tome kako se odnositi prema tom sloju graničnih ćelija. Prema drugima graničnim ćelijama se odnosi gotovo isto. Promotrite četiri ćelije na lijevoj strani MAC mreže sa čije desne strane se nalaze ćelije sa fluidom. Te ćelije su prikazane na tri načina na slici 2. Pri tome imajte na umu da brzina u ima tri komponente u,v,w.
Slika 2: Čvrste granične ćelije na lijevoj strani MAC mreže.
Prikaz na lijevoj strani označava čvorišta stranica, ljubičasto, koja sadrže u komponente brzine. Poput svih takvih čvorišta koja imaju s jedne strane čvrste granice, a s druge ćelije s fluidom, te ljubičaste vrijednosti su podešene na 0, tako da fluid ne bi prolazio kroz čvrste granice.
Središnji prikaz označava čvorišta, plavo, koja sadrže v komponentu brzine, a desni prikaz označava čvorišta stranica, zeleno, koja sadrže w komponentu brzine. Ta čvorišta sadrže tangencijalnu brzinu zida. Sva ta čvorišta imaju čvrste granice sa njihove obje strane. Postoje tri načina da se podese vrijednosti za takva čvorišta. Prvi način je da se njihove vrijednosti jednostavno podese na 0. Druga dva načina su poznata kao uvjeti klizanja; promotrite crvenu strelicu koja pokazuje smjer od čvorišta (prikazanog kao plavi oval) koje je okruženo fluidom, prema čvorištu koje ima čvrste granice s obje strane. Jednostavno kopiranje vrijednosti sa jednog na drugo čvorište bi stvorilo uvjete slobodnog klizanja, u kojima bi voda poprskana po zidu nastavila dalje uz zid bez usporavanja. Kopiranje negativne vrijednosti bi stvorilo takozvane uvjete bez klizanja gdje je tangencijalna brzina fluida koji se sastane sa granicom jednaka 0. Kako se  približava 0, uvjet bez klizanja je točniji, ali uvjet slobodnog klizanja održava animaciju živahnom. Zadaća animatora je koji će od ta dva uvjeta odabrati za animaciju.
Do sada smo raspravljali kako se podešavaju brzine za čvorišta stranica koja imaju čvrstu granicu s jedne ili s obje strane. Kasnije ćemo pokazati kako riješiti Navier-Stokes-ovih jednadžbi za čvorišta koja s obje strane imaju fluid, takozvane fluidne stranice, ali prvo moramo opisati kako se podešavaju vrijednosti za čvorišta stranica koja s jedne strane imaju fluid, a s druge su prazne (sa te strane se nalazi zrak), poznate kao površinske stranice. Ćelija sa barem jednom površinskom stranicom zvat će se površinska ćelija. U daljnjoj raspravi unutarnja stranica je ili fluidna stranica ili stranica kod koje se barem s jedne strane nalazi čvrsto tijelo. Drugim riječima unutarnja stranica je stranica za koju znamo vrijednost rješavanjem graničnih uvjeta ili Navier-Stokes-ovih jednadžbi.
Kod površinskih stranica ne koristimo uvjete klizanja, jer ovdje mora biti zadovoljen uvjet da nema odstupanja brzine unutar ćelija. Svaka površinska ćelija može imati od jedne do šest strana izloženih zraku i svaki od tih slučajeva je obrađen da ne bi došlo do odstupanja.
Da bi se podesili granični uvjeti za površinsku stranicu u površinskoj ćeliji, koristi se uvjet kontinuiteta prikazani jednadžbom (1). Tijekom slijedeće rasprave razmotrit ćemo površinsku ćeliju na lokaciji i,j,k. Diskretna verzija uvjeta kontinuiteta korištenjem jednadžbe (9) glasi:
|
(22) |
koja uključuje vrijednosti brzina svih šest stranica ćelije. Ako postoji točno jedna površinska stranica u ćeliji, tada se njezina vrijednost određuje izravno pomoću jednadžbe (22). Npr. ako je desna strana ćelije površinska stranica, tada joj se vrijednost određuje izrazom:
|
(23) |
Kada na ćeliji postoji više od jedne površinske stranice, tada ne postoji jedinstveno rješenje za jednadžbu kontinuiteta. U idealnom slučaju, jednadžbe za nestanak tangencijalnog naprezanja trebaju biti korištene kao dodatne jednadžbe za izračune drugih nepoznanica u sustavu, ali te jednadžbe se ne koriste u MAC metodi opisanoj ovdje. Harlow [3] je istaknuo da kod dvije dimenzije primjena slabijih uvjeta  i  rezultira dobivanjem zanemarivih tangencijalnih naprezanja, čak i kod vrlo viskoznih fluida. Prilikom odlučivanja načina na koji ću podesiti vrijednosti za površinske ćelije, nastojao sam se držati ovih uputa, ali pri tome paziti da je jednadžba (22) i dalje istinita.
Postoje šezdeset i tri moguće postavke za površinske ćelije. Jednadžba (23) i pet sličnih jednadžbi brine se za slučajeve kada u ćeliji postoji samo jedna površinska stranica. Ako u ćeliji postoji šest površinskih stranica, tada ništa ne radimo i na fluid utječu samo vanjske sile. Ono što slijedi je rasprava o ostalih pedeset i šest slučajeva poredanih po broju površinskih stranica u ćeliji. Između tih slučajeva postoje velike sličnosti, tako da detaljnija rasprava svakog nije potrebna.
Kada na površinskoj ćeliji postoje samo dvije površinske stranice, moramo uzeti u obzir dva slučaja, jedan je kada se sa suprotnih strana ćelije nalazi zrak, u tom slučaju ništa se ne poduzima. To može uzrokovati divergenciju, ali čini se da kapljicama i tankim slojevima fluida omogućuje prirodan slobodan pad. U drugom slučaju kopiramo brzine na površinske stranice sa stranica nasuprot njima i toj vrijednosti dodajemo pola razlike od preostale dvije stranice na svaku površinsku stranicu.
Kada su na ćeliji tri površinske stranice, također postoje dva slučaja koja moramo uzeti u obzir. U slučaju kada su površinske stranice nasuprot unutarnjim stranicama, jednostavno se vrijednosti brzina kopiraju sa unutarnjih stranica na površinske stranice. U drugom slučaju postoji jedna unutrašnja stranica koja je nasuprot površinskoj stranici, a i dvije površinske stranice jedna nasuprot drugoj. U tom slučaju brzinu za površinsku stranicu koja je nasuprot unutrašnje stranice
određujemo kao u prvom slučaju kada je postojala samo jedna stranica u dodiru sa zrakom i pri tome ignoriramo činjenicu da postoje još dvije stranice koje su u dodiru sa zrakom.
Kada ćelija ima četiri površinske stranice također postoje dva slučaja. Prvi je kada su dvije površinske stranice jedna nasuprot drugoj, ali preostale dvije nisu jedna nasuprot drugoj. U tom slučaju na površinske stranice koje nisu jedna nasuprot drugoj upisujemo suprotne vrijednosti i ponovno podijelimo razliku preostale dvije stranice i dodamo je da bi dobili ćeliju bez rasipanja brzine. U slučaju kada svaka površinska stranica ima nasuprot također površinsku stranicu, tada izračunamo rasipanje brzine u ćeliji, podijelimo na četiri dijela i ravnomjerno rasporedimo po površinskim stranicama.
Posljednjih šest slučajeva je kada na ćeliji postoji pet površinskih stranica. U takvom slučaju koristimo se metodom kao kad u ćeliji postoji samo jedna površinska ćelija, a brzina koju određujemo je za onu stranicu nasuprot unutarnje stranice. Moramo istaknuti da u ovom slučaju nema dovoljno informacija za rad, jer imamo jednu jednadžbu a pet nepoznanica. Odluka koju donosimo u ovom slučaju može prouzročiti nepravilnosti u oblicima ili neravnine na površini.
Ponekad kada se interpoliraju vrijednosti brzina blizu površine (kada je potrebna brzina čestice za označavanje), potrebne su vrijednosti izvan fluida. Jedan dobar način da se odrede te brzine je da se koristi produžena brzina da bi se odredile brzine uzduž normale na površinu. Međutim u danom trenutku nemamo podataka o normali, pa je najjednostavnije rješenje kopirati vrijednost brzine koja je najbliže čestici za označavanje.
Postoje dva važna koraka u rješavanju  . Jedan od problema koji se javljaju prilikom rješavanja jednadžbe (2) je taj da nema podataka o tome kako riješiti tlak p. Srećom jednadžba (1) daje dovoljno podataka da bi se dobio odgovarajući tlak. Kako se koristi taj tlak i kako se dobiva rješenje vidjet ćemo u poglavlju 3.4. Za sada ćemo ignorirati tlak i opisati izmijenjenu Euler-ovu metodu za dobivanje približne brzine  .
Jednadžba za približnu brzinu pri konstantnom viskozitetu glasi:
|
(24) |
U jednadžbi je izostavljena stavka o tlaku. Za metodu konačnih razlika se koriste slijedeće jednadžbe i rješavaju se za svaku dimenziju posebno:
gdje komponente trenutne brzine  su  , komponente približne brzine  su  , a komponente vanjskih sila  su  . Rješavanje ovih jednadžbi za svaku stranicu ćelije u MAC mreži sa fluidom na obje strane daje približnu brzinu . Međutim, u približnoj brzini nema stavke o tlaku, tako da jednadžba (1) nije bila razmatrana za ćelije koje se ne nalaze na površini.
Do sada nismo uzeli u obzir tlak zato jer kod približne brzine postoji rasipanje (i.e.,  ) i slijedeći korak koji moramo poduzeti jest da koristimo rješenje za tlak koje će ukloniti rasipanja iz približne brzine i tako učvrstiti uvjet o nestlačivosti fluida. Ovaj korak je poznat kao korak projiciranja tlaka. Izraz iz jednadžbe (2) koji smo izostavili iz jednadžbe (24) je:
|
(28) |
i moramo ga koristiti za dobivanje konačne brzine
|
(29) |
Također se moramo pobrinuti da konačna brzina bude za nestlačiv fluid, zato koristimo rasipanje iz jednadžbe (29) da bi dobili
|
(30) |
Preuređenjem jednadžbe (30) dobivamo jednadžbu
|
(31) |
koja se mora riješiti po tlaku p. Kada to napravimo uvrstimo rješenja u jednadžbu (29) da bi dovršili predviđanje tlaka i tako potvrdili uvjet o nestlačivosti.
|
