KONSTRUKTIVNA GEOMETRIJA
SA SLOBODNO OBLIKOVANIM OBJEKTIMA

Mreže poligona

Prikaz geometrije tijela mrežom poligona je možda i najraširenija metoda prikaza tijela. U osnovi, ova metoda se oslanja na prikaz tijela osnovnim elementima, gdje su osnovni elementi poligoni.U praksi su gotovo uvijek u pitanju trokuti ili ponekad četverokuti, dok su ostale vrste poligona vrlo slabo zastupljene. Ovakav pristup je vrlo općenit jer je moguće bilo kakvu geometrijsku reprezentaciju svesti na prikaz poligonima i to je često vrlo jednostavna konverzija bez potrebe za velikim proračunima. Zbog svoje jednostavnosti, ovaj je prikaz donekle baza za sve ostale vrste modeliranja, pa je i grafičko sklopovlje prilagođeno radu sa poligonima, osobito sa trokutima. Trokuti su od svih poligona najzahvalniji zbog činjenice da su uvijek planarni, za razliku od četverokuta i ostalih mnogokuta koji mogu biti planarni, ali ništa ne garantira njihovu planarnost. Zbog planarnosti trokuta olakšani su proračuni osvjetljenja za neke metode, pronalazak proboja zrake i trokuta i mnogi drugi proračuni.. 

Ova metoda nikako nije pogodna za ručno modeliranje jer je potrebno uložiti vrlo mnogo truda da bi se formiralo jedno tijelo kao što je kugla na gornjoj slici. Stoga se najčešće kao sučelje prema korisniku koriste neki od drugih postupaka u modeliranju koji su pogodniji za ručnu kontrolu korisniku, a mreža poligona ostaje kao interna prezentacija podataka koju je lako obraditi na grafičkom sklopovlju.

Parametarske plohe 

Parametarske krivulje i plohe se stvaraju matematičkim formulama, a zovu se parametarske zato što parametar krivulje ili plohe određuje oblik iste. Većina tih krivulja spada pod kategoriju koja se na engleskom naziva «spline». Riječ spline dolazi od alata koji se nekada koristio pri dizajnu za crtanje krivulja, a sastojao se od savitljive čelične trake po kojoj su se pomicali utezi te je ona tako poprimala razne oblike krivulja (danas postoje slične metode kojima se na računalu simulira spline). Parametri parametarskih krivulja su obično vrlo intuitivni, a najčešće se predočuju pomoću kontrolnih točaka, kontrolnih poligona, tangenti i sl. dok je sama formula krivulje skrivena od krajnjeg korisnika. Primjer jedne jednostavne, ali i vrlo poznate parametarske krivulje je Bezierova kubična krivulja. Njena formula je:

gdje je u parametar krivulje koji se mijenja od 0 do 1, a P0 – P3 su kontrolne točke krivulje čijim položajem određujemo oblik krivulje.

Nakon Bezierove krivulje, koja je bila jedna od prvih krivulja korištenih u grafici, razvijen je niz drugih složenih krivulja od koji su najpoznatije Hermiteova, B-spline, β-spline, te NURBS (engl. NonUniform Rational B-Spline) krivulja koja je jako popularna u dizajnu zbog svojih velikih mogućnosti kontrole krivulje.

Poopćavanjem parametarskih krivulja na tri dimenzije, dobivaju se parametarske plohe. Kao i kod krivulja, i ovdje su parametri intuitivni i grafički predočeni. Kao primjer, na slici se može vidjeti Bezierova bi-kubična ploha, koja se dobiva poopćenjem Bezierove kubične krivulje na tri dimenzije. Na gornjim slikama se vide kontrolne točke plohe, a na slikama ispod kako pomicanje kontrolnih točaka utječe na izgled plohe. 

Brišuće plohe

Brišuće plohe su poseban oblik prikaza trodimenzionalnog tijela koji nastaje rotacijom ili izvlačenjem zadane krivulje. Najjednostavniji oblik brišuće plohe nastaje kada se određenoj zatvorenoj krivulji «izvuče» treća dimenzija. Krivulja koja je baza novoga tijela zadaje se nekim od pogodnih zapisa krivulje, te se odredi potrebna dubina tijela. 

Kompliciraniji način dobivanja tijela je rotacijom zadane krivulje oko neke točke prostora.Najsloženiji način je izvlačenjem zadane krivulje po nekoj drugoj krivulji, što daje dodatne mogućnosti oblikovanju tijela.

Postupci brišućih ploha omogućavaju jednostavno i brzo modeliranje objekata sa zanimljivim mogućnostima oblikovanja, ali su zato najkompliciranija metoda, od dosad opisanih, za izračunavanje presjeka, proboda i sl.

Volumni elementi

Možda i najprirodniji način prikaza čvrstih tijela je prikaz volumnim elementima (engl. voxel). Volumni elementi su elementarni dijelovi volumena. Zamišljeni su kao točke vrlo male veličine, ali su, u realnosti, zapravo oblika kocke s malom, ali konačnom, duljinom stranice. Da bi dobili volumne elemente, potrebno je prostor predstaviti mrežom ćelija uniformne raspodjele. Tijelo koje je smješteno u promatranom prostoru će okupirati neke od volumnih elemenata i zapisom baš tih elemenata moguće je ostvariti zapis tijela.

Osim samog zapisa popunjenih volumnih elemenata, obično se zapisuju i dodatne informacije o tijelu, kao što su: boja, gustoća, tlak, temperatura ili bilo što drugo što je zgodno ili potrebno za promatrati. Prikaz tijela volumnim elementima je zahvalan za obavljanje Booleovih operacija jer se pripadnost nekog volumnog elementa tijelu određuje njegovom pozicijom te je lako utvrditi preklapanje nekih elemenata dvaju tijela.

Najveći problem volumnih elemenata je potreba za velikom količinom memorije (prostora) za zapis tijela. Tome je tako jer se zapisuje informacija o svakom malom dijelu volumena u sve tri dimenzije te je složenost zapisa O(n³), te se tako za kocku duljine stranice 1000 dobiva podatak o milijun volumnih elemenata.

Postoji još problem iscrtavanja strukture predstavljene volumnim elementima. Nekoliko je uobičajenih načina iscrtavanja koji se koriste:

• prikaz izo-površina (engl. Isosurface rendering)

• prikaz poprečnog presjeka (eng. Slicing)

• prikaz volumena (engl. volume rendering, Ray casting)

Prvi način se ostvaruje sjenčanjem površina koje ograničavaju volumne elemente iste gustoće ili nekog drugog atributa. Metoda slicing iscrtava 2D prikaz presjeka zadane ravnine interesa s volumnim elementima tijela, dok metoda bacanja zrake (ray casting) sumira utjecaj pojedinih volumnih elemenata na zraku bačenu kroz tijelo (pri tome su volumni elementi tijela više ili manje prozirni).