KONSTRUKTIVNA GEOMETRIJA
SA SLOBODNO OBLIKOVANIM OBJEKTIMA

Da bi se određeno čvrsto tijelo (engl. Solid) predstavilo njegovom površinom potrebno je da ta površina bude zatvorena ploha kako bi jednoznačno bio određen volumen unutar tijela. Sama površina se prikazuje svojim elementarnim dijelovima – elementima površine (surfelima). Svaki element površine s se sastoji od svoje pozicije x_s, radijusa utjecaja r_s i orijentacije tj. normale na dio površine n_s. Ovako predstavljeni elementi površine su poput malih diskova. Jedan od načina prikaza je LDC (engl. Layered Depth Cube). LDC se konstruira tako da se iz tri ortogonalna smjera bacaju zrake na geometrijsko tijelo te se bilježi svaki presjek duž zrake sa površinom tijela. 

Na ovaj način se dobiju 3 LDI-a (engl. Layered Depth Image) koji sadrže elemente površine gledano iz tri ortogonalna smjera. Za svaki element površine se bilježe i geometrijski parametri (položaj i orijentacija) i slikovni parametri (boja površine i sl.).

LDC se na svakom nivou dijeli u blokove veličine b.Na slici se vide dvije razine LDC stabla u 2D s parametrom b = 4, s time da su susjedni blokovi drugačije sjenčani, a prazni blokovi su bijeli. 

Na svim višim nivoima stabla, blokovi se konstruiraju poduzorkovanjem nižeg nivoa (čvorova djece) sa faktorom 2, tj. uzorkuje se tako da se prihvaća svaki drugi uzorak.  Da bi se smanjio potreban prostor za pohranu strukture i ubrzalo iscrtavanje obično se još izvodi i 3-na-1 redukcija (engl. 3-to-1 reduction) čime se za svaki blok u stablu odgovarajuća LDC struktura svodi na jedan LDI. Redukcija se obavlja tako da se svi elementi površine poravnaju na cjelobrojne koordinate mreže (engl. grid spacing) kao što prikazuje slika.

Redukcija i poduzorkovanje smanjuje kvalitetu prikaza elementima površine i što se tiče geometrijske prezentacije i što se tiče sjenčanja,ali gubitak na kvaliteti je podnošljiv i opravdan uštedom na memoriji i vremenu. 

Usporedba prikaza površinom i volumenom

Zanimljivo je usporediti neke od metoda prikaza trodimenzionalnih objekata. Prvo što upada promatraču u oči je da je prikaz volumnim elementima puno prirodniji za model čvrstog tijela. Volumni elementi na jednostavan i jednoznačan način definiraju 3D tijelo u prostoru i u jednu ruku su logičan izbor za modeliranje. 3D prikaz tijela volumnim elementima je s jedne strane mnogo jednostavniji od prikaza tijela elementima površine pošto nema potrebe za dijeljenjem prostora oktalnim stablima, računanjem što je unutra, a što vani, traženjem najbližeg susjeda itd.

Problem kod prikaza tijela volumnim elementima je potreba za velikom količinom memorije jer se za tijelo bilježe podaci za svaku točku prostora koju zauzima, dok se kod prikaza tijela elementima površine bilježe samo podaci za točke prostora koje su na površini tijela.

 Uzorkovanje mreže trokuta

Kako je LDC stablo kompleksan postupak dobivanja tijela prikazanih elementima površine, za potrebe ovog rada napisana je jednostavna procedura usitnjavanja mreže trokuta (engl. triangle mesh). Bilo koji objekt predstavljen mrežom trokuta može se na određeni način usitniti dovoljno tako da svaki novonastali trokut aproksimira jedan element površine. Uzorkovanje se vrši tako da se za početni trokut odredi najdulji brid. Ako je najdulji brid trokuta ABC veće duljine od nekog parametra l_max kojeg može zadati korisnik, pristupa se lomljenju početnog trokuta u dva nova i to na način da se stvori novi vrh (engl. vertex) D točno na polovištu najduljeg brida, te se formiraju novi trokuti ABD i ADC, pri čemu je potrebno paziti na redoslijed (smjer kazaljke na satu ili suprotan) vrhova radi očuvanja smjera normali.

Postupak se dalje nastavlja sve dok više nema niti jednog poligona s bridom duljim od zadanog faktora. Ovakvim usitnjavanjem dobiva se relativno velik broj trokuta koji su sigurno dovoljno mali da mogu aproksimirati elemente površine.