Tenzorska polja

U području računalne grafike polja simetričnog tenzora drugog reda koriste se u mnogim primjenama. Na primjer u nefotorealističnom ``slikarskom'' renderiranju orijentacije poteza kista navode se tenzorskim poljem koje je okomito na polje gradijenta slike. U tzv. šrafuljnim ilustracijama (linijskim teksturama) glatkih površina, šrafure uglavnom prate jedan od principijelnih smjerova tenzora zakrivljenosti (engl. curvature tensor). Kada se radi o reprezentaciji prirodnih smjerova na slici ili na trodimenzionalnom obliku, tenzorska polja omogućuju korištenje puno raznovrsnijeg skupa vizualnih elemenata nego što to omogućuju vektorska polja [11].

U ovome radu tenzorska polja koriste se za navođenje postupka generiranja prometne mreže.

Matematičke definicije

U fizici i matematici, tenzor je poopćenje skalara i vektora, te se, poput vektora, sastoji od više skalarnih vrijednosti [20]. Rang tenzora je dimenzija niza potrebnog za njegovu reprezentaciju. Tako je skalar tenzor nultog ranga, vektor je tenzor ranga 1, dok tenzor ranga 2 predstavlja matricu. Linearna transformacija (koja se prikazuje matricom) također je tenzor ranga 2.

Za vektor $\vec x \neq 0$ kažemo da je svojstveni vektor linearne transformacije ako za neku skalarnu vrijednost $\lambda$ vrijedi: $L(\vec{x} ) = \lambda \vec{x}$ . Vrijednost $\lambda$ naziva se svojstvena vrijednost od koja odgovara svojstvenom vektoru $\vec{x}$ . Iz ove definicije izravno slijedi da je svaki vektor $\vec{y} = \rho \vec{x}, \rho \neq 0$ također svojstveni vektor od .

Za tenzor $\left[ T_{i,j}\right]$ kažemo da je simetričan ako i samo ako vrijedi $T_{i,j} = T_{j,i}$ . Za svaki simetrični tenzor drugog reda postoji jedinstveni rastav na zbroj njegovog izotropnog dijela i anizotropnog dijela :

$\displaystyle T = S + A = \lambda I + \mu \left[ \begin{array}{cc} \cos 2 \th... ... 2 \theta \end{array}\right] , \mu \geq 0, \theta \epsilon [0, 2\pi \rangle .$

Tenzor

ima svojstvene vrijednosti $\pm \mu$ te dva skupa svojstvenih vektora. Glavni svojstveni vektori tenzora

su:

$\displaystyle \left\{ \rho \left[ \begin{array}{c} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array} \right] \vert \rho \neq 0 \right\},$

i odgovaju svojstvenoj vrijednosti $+ \mu$ , dok su sporedni svojstveni vektori:

$\displaystyle \left\{ \rho \left[ \begin{array}{c} \cos(\theta + \frac{\pi}{... ... \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \end{array} \right] \vert \rho \neq 0 \right\}.$

i odgovaraju svojstvenoj vrijednosti $- \mu$ . Glavni i sporedni svojstveni vektori simetričnog tenzora drugog reda uvijek su međusobno ortogonalni.

Tenzorsko polje je neprekinuta funkcija koja svakoj točki $\mathbf{p} = (x,y) \epsilon \mathbb{R}^2$ pridružuje tenzor $T(\mathbf{p})$ . Kažemo da je $\mathbf{p}$ degenerirana ako $T(\mathbf{p}) = 0$ , inače kažemo da je $\mathbf{p}$ regularna.

Hiperlinija toka $\Gamma$ tenzorskog polja je krivulja koja u svakoj svojoj točki $\mathbf{p} = (x,y) \epsilon \Gamma$ ima tangentu u smjeru svojstvenog vektora tenzora $T(\mathbf{p})$ . Tako za anizotropno tenzorsko polje $A(\mathbf{p})$ postoje dvije familije hiperlinija toka - glavna i sporedna, koja odgovara glavnom odnosno sporednom polju svojstvenih vektora.

U nastavku teksta pod pojmom tenzorsko polje smatra se polje anizotropnog dijela simetričnog tenzora drugog reda.