6. Linearna interpolacija, krivulje (nakon međuispita [31-53])

Pitanja koja prate video predavanja:

Razlomljena krivulja drugog reda

1. Koji problem rješavaju krivulje prikazane razlomljenim funkcijama? Kakve krivulje ne možemo oblikovati Bezierovim krivuljama?
2. Koju vrstu krivulja drugog reda omogućava dodavanje homogene koordinate? Kako su geometrijski definirane te krivulje? Kako su algebarski definirane (matričnim zapisom)?
3. Kako su definirane prva i druga derivacija ove krivulje? Koju informaciju o lokalnom obliku krivulje nam daje pojedina derivacija?
4. Koliko točaka nam je potrebno da bismo egzaktno odredili karakterističnu matricu krivulje?
5. Za vježbu:
• Egzaktno (samo s parametrom t) odredite funkciju razlomljene krivulje drugog reda uz minimalan broj proizvoljno zadanih točaka.
• Možete li egzaktno odrediti funkciju krivulje ako su zadane samo dvije točke i derivacija u jednoj od zadanih točaka?
• Samostalno definirajte karakterističnu matricu kružnice radijusa 1 pomoću kvadratne zavlomljene krivulje drugog reda.
• Krenite od trigonometrijskih izraza za pretvorbu polarnih koordinata u Kartezijeve i univerzalne supstitucije za trigonometrijske funkcije.
• Je li homogena koordinata točke konstantna uzduž segmenta ove krivulje?

Razlomljena krivulja trećeg reda

1. Koliko je uvijeta potrebno za egzaktnu definiciju krivulje trećeg reda? Koliko je uvijeta bilo potrebno za krivulje drugog reda? Kakav je odnos između reda krivulje i broja potrebnih uvijeta?
2. Zašto se te dvije krivulje nazivaju “razlomljenim”? Kako se segmenti nadovezuju u konačnu krivulju? Kojim su točkama definirani?
3. Kako matrično zapisujemo krivulju zadanu točkama i derivacijama? Na koje matrice rastavljamo karakterističnu matricu krivulje?
4. Kako se izračunava univerzalna transformacijska matrica? O kojim informacijama ovisi?
5. Upisuju li se u matricu točaka i derivacija vektori u radnom ili homogenom prostoru? Kojih dimenzija je ova matrica?
6. Kako se zove parametarska kubna krivulja kojoj su homogene komponente derivacija nula? Kojoj prethodno spomenutoj krivulji je ekvivalentna?
7. Je li kubna razlomljena krivulja trećeg reda općenitija od Bezierove krivulje (opisuje li veći skup krivulja)?
8. Možemo li egzaktno odrediti krivulju ako nam nisu zadane homogene komponente krajnjih točaka? Kako možemo odrediti vrijednosti komponenata koje nam nedostaju?
9. Za vježbu:
• Za proizvoljno zadane dvije točke i njima pripadnim derivacijama krivulje u radnom prostoru, definirajte funkciju razlomljene krivulje trećeg reda.
• Definirajte vektor parametra krivulje.
• Izvedite univerzalnu transformacijsku matricu.
• Popunite matricu homogenih komponenata zadanim vrijednostima.
• Vektore točaka i derivacija objedinite matricom točaka.

Parametarske derivacije u radnom i homogenom prostoru

1. Koji su izrazi za pretvorbu točke radnog prostora u homogeni?
2. Koju pravilnost primijećujete u matričnim izrazima derivacija homogenog prostora? Kakva je veza između dimenzija matrica ovisno stupnju derivacije? Što je zapisano u vektorima homogenih komponenti?
3. Kako je određena derivacija u radnom prostoru pomoću točke u homogenom prostoru? Obavlja li se dijeljenjem derivacija ili derivacijom dijeljenja komponenti točke homogenog prostora?

Parametarske površine

1. Kako pomoću krivulje definiramo površinu?
2. Što je krpica? Koja ograničenja kontinuiteta možemo zahtjevati na spojevima krpica?
3. Kako se zove krivulja koja svojom deformacijom opisuje površinu?
4. Kako se zove krivulja koja pomicanjem kontrolnih točaka druge krivulje definira oblik površine?
5. Koja od tih krivulja leži na površini? Dodiruje li ona druga krivulja površinu?
6. Možemo matrično definirati krpicu pomoću definicija krivulja? Na što utječe jedan parametar krpice, a na što drugi? Može li se krpica definirati jednom matričnom jednadžbom ili se definira u dva koraka?
7. Kako se zovu najopćenitije površine koje se koriste u računalnoj grafici?
8. Za vježbu:
• Koliko kontrolnih točaka trebamo za krpicu čija je generatrisa definirana Bezierovom krivuljom trećeg reda?