Animacija fluida u okruženju s preprekama

U devetnaestom stoljeću, neovisno i s petnaestak godina razlike, engleski fizičar George Gabriel Stokes i francuski Claude Louis Navier dali su matematičku formulaciju gibanja fluida. Te su jednadžbe danas poznate kao Navier Stokesove jednadžbe. U svom standardnom obliku glase:

gdje je u vektor brzine, p tlak, g akceleracija sile teže, ρ gustoća fluida, υ statički koeficijent viskoznosti, i vrijedi

Navier Stokesove jednadžbe za slučaj bez utjecaja vanjske sile (u gornjoj formulaciji gravitacija) mogu se određenim supstitucijama ispisati u bezdimenzionalnom obliku koji omogućava višu razinu slobode u izradi modela. U tom slučaju jednadžbe imaju oblik:

gdje je Re bezdimenzionalni Reynoldsov broj. Ovo je vektorska jednadžba, pa iz toga dolazi upotreba množine. S lijeve strane se nalazi vremenska derivacija brzine, odnosno akceleracija. S desne strane su izrazi koji reguliraju doprinose konvekcije, advekcije i difuzije promjeni brzine.
Za potrebe kasnije upotrebe u poglavlju o diskretizaciji, zapis Navier Stokesovih jednadžbi treba raspisati do diferencijalnih jednadžbi po komponentama brzine. Prvi korak je zamjena operatora nabla njegovim diferencijalnim oblikom:

Sada slijedi raspisivanje vektora u u komponentama brzine s jediničnim vektorima

Grupiranjem izraza uz jedinične vektore i rastavljanjem vremenske derivacije s lijeve strane dobijaju se dvije momentne jednadžbe, svaka s utjecajima koji se odnose samo na odgovarajuću komponentu brzine

U ovom obliku jednadžbe su spremne za diskretizaciju i upotrebu u algoritmu i simulaciji.