Računalni model

Simulacija toka fluida na računalu svodi se na numeričku integraciju Eulerovih, odnosno Navier-Stokesovih jednadžbi. Za potrebe ovog rada korištene su Navier-Stokesove jednadžbe. Njih je prvo potrebno zapisati u obliku koji je pogodan za implementaciju na računalu. Također je potrebno obaviti diskretizaciju prostora i vremena.

Za implementaciju u računalu koristit će se sljedeći oblik Navier-Stokesovih jednadžbi:

Nakon primjene operatora P, čiji utjecaj je detaljnije opisan u [1], za vektorsko polje u implicitno vrijedi div u = 0 pa se ta jednadžba ne treba pisati.

Diskretizacija prostora

Prostor na kojem se odvija simulacija dijeli se na jednake elemente volumena, tj. ćelije koje u općenitom slučaju imaju oblik kvadra. Varijable koje opisuju stanje fluida mogu se unutar ćelije pozicionirati na dva načina. Kod prvog se svih pet varijabli nalazi u središtu ćelije te je taj način podložan određenim nestabilnostima [4]. Kod drugog su u središtu samo tlak i gustoća, dok su komponente brzine pozicionirane na bridovima ćelije. Na slikama su radi jednostavnosti ćelije prikazane u dvije dimenzije.

Slika 3. Sve varijable su definirane u središtu ćelija

Slika 4. Vektorske vrijednosti su definirane na bridovima ćelija

Diskretizacija vremena

Umjesto da vrijeme protiče kontinuirano, ono je podijeljeno na vremenske korake Δt. To znači da se stanje fluida izračunava za trenutke koji su udaljeni od početnog za neki višekratnik od Δt. Preuređivanjem gore navedene jednadžbe dobiva se

gdje u predstavlja vektor brzine u trenutku t, a u* u trenutku t+Δt.

Rješavanje Navier-Stokesovih jednadžbi

Nakon što su obavljene potrebne predradnje, može se pristupiti rješavanju Navier-Stokesovih jednadžbi. Ideja je rastaviti desnu stranu jednadžbe na zasebne izraze te za svaki izraz naći najprikladniju metodu rješavanja [2]. Neka je u₀ brzina dobivena u trenutku t, a u₁, u₂ i u₃ brzine dobivene u međukoracima. Za dobivanje brzine u₄ u trenutku t+Δt potrebno je obaviti sljedeće korake:

Dobiveno vektorsko polje u₄ predstavlja brzinu u trenutku t+Δt. Postupak se dalje ponavlja za vremenske trenutke t+2Δt, t+3Δt itd.

Gibanje supstanci kroz fluid

Kada se u fluid ubaci neka nereaktivna supstanca, kao npr. tinta u vodu, ona se počne gibati vođena brzinom fluida. Također dolazi i do difuzije. Općenito, ako je ρ neka skalarna veličina koja se giba fluidom, onda sljedeća jednadžba dobro opisuje to gibanje:

κ_ρ je difuzijska konstanta, α_ρ brzina disipacije, a S_ρ gustoća koja dolazi iz izvora. Jednadžba je jako slična Navier-Stokesovoj pa se svi izrazi na desnoj strani, osim -α_ρρ mogu riješiti na isti način kao što se to radilo s brzinom. Za detalje pogledati [2].