Simulacije vođene konačnim stanjem

Koristeći metodu opisanu u prošlom poglavlju mogu se dobiti uvjerljive simulacije gibanja fluida i supstanci u njemu (npr. dim u zraku). Međutim, teško je ili gotovo nemoguće postići da taj dim dobije željeni oblik (npr. da korisnik određivanjem iznosa vanjskih sila natjera dim u oblik kvadrata). Zbog toga su od nedavno razvijeni postupci koji omogućavaju da se zada željeni oblik, a sile se onda tijekom simulacije izračunavaju tako da dim zaista poprimi taj željeni oblik. Ti su postupci od iznimne važnosti za animatore u filmovima, jer im omogućuju stvaranje uvjerljivih specijalnih efekata kakve prije nije bilo moguće vidjeti.

U ovom radu fokus je stavljen na metodu razvijenu od strane dvojice profesora s The Hebrew University of Jerusalem [3]. Oni u Navier-Stokesove jednadžbe uvode dva nova izraza. Prvi je izraz za silu koja vodi dim prema željenom obliku i nalazi se u jednadžbi koja predstavlja zakon o očuvanju količine gibanja. Drugi je izraz za sprječavanje difuzije dima zbog numeričke disipacije, a nalazi se u jednadžbi koja opisuje gibanje supstanci u fluidu.

Neka je ρ(x,t) skalarno polje koje označava gustoću dima u vremenskom trenutku t, a neka je ρ*(x) skalarno polje koje predstavlja željenu gustoću dima. U svakom trenutku tijekom simulacije dim se mora kretati tako da poprimi oblik zadan s ρ*, a jednom kada u tome uspije, treba se u tom stanju zadržati. Navier-Stokesove jednadžbe, prepravljene da ispunjavaju zadani uvjet, sljedećeg su oblika:

Izraz F(ρ,ρ*) predstavlja silu koja vodi dim prema željenom obliku. Točna definicija tog izraza dana je u [3]. Također je dodan i izraz -v_du koji služi kao prigušivač količine gibanja. Osim ovih jednadžbi, prepravljena je i jednadžba koja opisuje gibanje supstanci kroz fluid te sada ima oblik:

Na desnoj strani je dodan izraz G(ρ,ρ*) koji sprječava difuziju dima. Točna definicija navedena je u [3]. Utjecaj svakog od tri dodana izraza određuje se pomoću odgovarajućih nenegativnih parametara v_f, v_d i v_g.

Rješavanje prepravljenih Navier-Stokesovih jednadžbi

Postupak rješavanja Navier-Stokesovih jednadžbi, prepravljenih da omogućuju vođenje simulacije k željenom konačnom stanju, vrlo je sličan postupku opisanom u odjeljku 3.4. Ako uzmemo da je u₀ brzina dobivena u trenutku t, a u₁, u₂ i u₃ brzine dobivene u međukoracima, onda je za dobivanje brzine u₄ u trenutku t+Δt potrebno obaviti sljedeće korake:

Jednadžba koja opisuje gibanje supstanci unutar fluida slična je Navier-Stokesovoj jednadžbi za očuvanje količine gibanja te se za nju mogu upotrijebiti isti postupci. Neka je ρ₀ gustoća dima u trenutku t, a ρ₁ međurezultat. Za dobivanje gustoće dima ρ₂ u trenutku t+Δt potrebno je izvršiti sljedeće korake:

Brzina u₄ je brzina u trenutku t+Δt dobivena na već opisan način. Postupak se dalje ponavlja za vremenske trenutke t+2Δt, t+3Δt itd.