MATEMATIČKI MODELI
Navier-Stokesove jednadžbe, nazvane po Claude-Luis Navieru i George Gabriel Stokesu, su sustav jednadžbi koji opisuju gibanje čestica fluida kao što su tekućine i plinovi. Te jednadžbe se temelje na pretpostavci da promjene u momentu (akceleraciji) čestica fluida su jednostavno rezultati promjena u tlaku i disipativnim viskoznim silama (unutrašnje trenje fluida) koje se odvijaju unutar fluida.
Jednadžbe očuvanja mase i momenta su mnogo kompleksnije nego se čine. Jednadžbe su nelinearne, međusobno povezane i teško rješive. Teško je dokazati postojećim matematičkim alatima da postoji jedinstveno rješenje za partikularne granične uvijete. Iskustvo govori da Navier-Stokesove jednadžbe opisuju tok Newtonovog fluida (tok fluida koji se ponaša po Newtonovim zakonima očuvanja mase i momenta) ispravno. Samo za mali broj slučajeva, pretežno potpuno razvijenih tokova u jednostavnim geometrijama (npr. u cijevima, između paralelnih prepreka), postoji jedinstveno analitičko rješenje Navier-Stokesovih jednadžbi. Ti specijalni slučajevi tokova su bitni za proučavanje osnova dinamike fluida, ali njihova praktična upotreba (relevantnost) je ograničena.
U svim slučajevima kada je rješenje moguće, mnogi izrazi u jednadžbi su jednaki nuli. Za ostale tokove neki od izraza su nebitni i možemo ih zanemariti i tako pojednostaviti navedene jednadžbe. Treba imati na umu da takvo pojednostavljenje donosi i pogrešku. Osim toga, pojednostavljenje donosi i mnogo manju cijenu izračuna nego što je slučaj za izračunavanje potpunih jednadžbi, te ta činjenica opravdava potrebu za pojednostavljenjem. U većini slučajeva, čak i pojednostavljene jednadžbe se ne mogu riješiti analitički, te se koriste numeričke metode.
Kada se govori o Navier-Stokesovim jednadžbama, obično se misli na spomenute pojednostavljene matematičke verzije koje se koriste za specijalne slučajeve ponašanja fluida. Tako i u ovom tekstu se neće ulaziti podrobnije u njihov izvod i analizu, već će se koristiti već pojednostavljenje verzije.
NESTLAČIVI TOK
U mnogim slučajevima gustoća fluida se može pretpostaviti konstantnom. To je ispravan izraz ne samo za tokove tekućina, čija stlačivost zbilja može biti zanemariva, nego i za plinove čiji Mach broj ima vrijednost manju od 0.3. Za takve tokove kažemo da su nestlačivi. Ako je tok uz to i izotermičan, viskoznost fluida je također konstantna. Za takav oblik toka fluida možemo koristiti pojednostavljene Navier-Stokesove jednadžbe.
Fluid čija gustoća i temperatura približno su konstantne opisuje se vektorskim poljem brzine u i poljem tlakova p. Navedene vrijednosti općenito variraju u vremenu i prostoru i ovise o granicama koje okružuju fluid. Ako se pretpostavi da su brzina i tlak poznati za svaku točku fluida u nekom inicijalnom vremenu t=0, tada možemo tok predstaviti jednadžbama:
(2.1)
(2.2)
gdje su:
ν - kinematička viskoznost fluida,
ρ - gustoća fluida i
f - vanjske sile koje djeluju na fluid.
Iz te jednadžbe se može očitati da je promjena brzine gibanja je jednaka sumi četiriju izraza (redom s lijeva na desno): advekciji fluida, promjeni tlaka, difuziji i vanjskim silama koji djeluju na promatrani segment fluida.
-
Izraz za advekciju
predstavlja prijenos nekog svojstva fluida (u ovom
slučaju brzine) samo gibanjem mase. Pobliže objašnjeno, taj izraz
osigurava da će se svaki mali djelić toka ,"ubačen" u glavni tok,
gibati u smjeru gradijenta vektora brzine. -
Idući izraz je izraz za razliku tlaka koji predstavlja činjenicu da se fluid uvijek giba iz područja višeg tlaka u područje nižeg.
-
Izraz za difuziju
, uz konstantni iznos viskoznosti, opisuje koliko se
brzo poništi razlika u brzinama unutar fluida koji okružuje zadanu
točku. Uz veći iznos viskoznosti, brzine se brže ponište. -
Zadnji izraz je izraz za vanjsku silu. Ta sila može biti bilo koji vanjski utjecaj. U nju ubrajamo gravitacijsku silu, silu uzgona te bilo koje sile definirane od strane korisnika. U ovom slučaju simulatora fluida, uz te dvije vrste sila, koristit će se i treći izraz koji će predstavljati silu koja obnavlja vrtloženje dima.
NEVISKOZAN (EULER-OV) TOK
U tokovima koji su daleko od krutog stanja, efekt viskoznosti je obično vrlo malen. Ako su viskozni efekti sveukupno zanemarivi, Navier-Stokesove jednadžbe se svode na Eulerove. Jednadžba kontinuiteta je identična jednadžbi (2.1), dok se jednadžba očuvanja momenta svodi na:
(2.3)
S obzirom da se fluid smatra neviskoznim, on se ne može priljubiti uz prepreke i moguće će je da fluid sklizne niz krute granice. Eulerove jednadžbe se obično koriste za proučavanje stlačivih tokova pri velikom iznosu Mach broja. Na velikim brzinama, iznos Reynoldov broja je vrlo visok te efekti viskoznosti i turbulencije su vrlo bitni samo u malim područjima u blizini prepreka. Takvi tokovi su najčešće jako dobro predviđeni Eulerovim jednadžbama.
Unatoč tome što Eulerove jednadžbe nisu jednostavne za računanje, činjenica da nije potrebno računati niti jedan granični sloj uz prepreke omogućava korištenje grubljih mreža. To rezultira manjom količinom računanja po vremenskom koraku.