POSTAVKE PROBLEMA

    Svrha ovog rada je postavljanje algoritma za izradu simulatora dima u 2D ili 3D području koji se zasniva na radu Fedkiwa, Stama i Jensena [1], te rada Stama [2] i njegovoj teoriji stabilnih fluida (engl. stable fluid). U daljnjem tekstu je opisana problematika, metode koje se koriste pri rješavanju, te način rješavanja postavljenog problema.

    U uvodu su navedene jednadžbe koje vjerno opisuju tok fluida. Interes ovog rada se svodi na uski dio područja fluida - na simulaciju dima i sličnih plinovitih fluida. Pretpostavka je da navedeni fluid je neviskozan, nestlačiv i ima gustoću konstantne vrijednosti. Efekt viskoznosti u plinovitom stanju fluida je zanemariv, pogotovo na grubljim mrežama gdje numerička disipacija dominira nad fizikalnom viskoznošću i molekularnoj difuziji. Kada je brzina gibanja plinova daleko ispod brzine zvuka efekt stlačivosti je također zanemariv (kao što je i navedeno u uvodu). Te dvije pretpostavke poprilično pojednostavljuju način izračuna jednadžbi. Zbog navedenih činjenica, za opis gibanja opisanog fluida koriste se nestlačive Eulerove jednadžbe (iste su navedene u uvodnom dijelu)

    (4.1)

    (4.2)

gdje je brzina plina u predstavljena kao vektor brzina kroz sve tri dimenzije:

.        (4.3) 

  Postavljene jednadžbe rješavaju se  u osnovna dva koraka (ovo je samo način rješavanja navedenih jednadžbi, kasnije će biti navedeni koraci algoritma ) :

• Prvo se rješava "posredničko polje brzina" (engl. intermediate velocity field) u^* rješavajući jednadžbu (4.2) kroz vremenski korak Δt bez izraza za tlak:

                  (4.4) 

• Nakon tog koraka prisiljavamo polje u^* da bude nestlačivo koristeći projekcijsku metodu koja će biti objašnjena kasnije u tekstu. To je ekvivalentno računanju tlaka iz Poissonove jednadžbe (Poissonova jednadžba se rješava iterativnim solverom):

       (4.5)

   sa čistim Neummannovim graničnim uvjetom:

   ,  (4.6)

  na graničnoj točki s normalom n.           

            Nakon toga se računa nestlačivo polje brzina tako da se iz posredničkog polja brzina oduzme gradijent tlaka:

. (4.7)

  Osim jednadžbi kojima se dobiva brzina čestica fluida, trebamo jednadžbe po kojima se mijenjaju temperatura i gustoća:

  (4.8)

  . (4.9)

   Obje vrijednosti, gustoća i temperatura utječu na brzinu fluida. Teški plinovi imaju tendenciju pada prema dolje zbog utjecaja gravitacije, dok topliji plinovi imaju tendenciju rasta zbog utjecaja uzgona. Za primjer ovog simulatora se koristi jednostavan model uključivanja ovih efekata tako da se definira vanjska sila koja je direktno proporcionalna gustoći i temperaturi plina:

  (4.10)

gdje je z=(0, 0, 1) vektor s orijentacijom "prema gore", T_amb ambijentalna temperatura, a α i β dvije pozitivne konstante s prikladnom jedinicom tako da gore navedena jednadžba (4.10) ima fizikalno značenje. Dobro je primijetiti da kada je ρ=0 i T= T_amb , definirana sila je jednaka nuli. Kako se uzima utjecaj gravitacije?

            Uz navedenu silu uzgona, koristit ćemo i dodatni izraz za silu koji će definirati pojave malih vrloga te tako činiti izgled dima življim. Više o tome u poglavlju o metodi ograničavanja vrtložnosti.

            Jednadžbe  (4.8) i (4.9), kao i jednadžba (4.4), sadrže operator divergencije. Divergencija je transportiranje očuvane skalarne vrijednosti u vektorskom polju. U meteorologiji i fizikalnom proučavanju fluida, divergencija predstavlja strujanje (obično horizontalno) nekih atmosferskih svojstava fluida, kao što su u ovom slučaju toplina i gustoća, u smjeru brzine fluida. Taj navedeni izraz se rješava semi-Lagrangeovom metodom, koja je već opisana poglavlju metoda vremenske diskretizacije.

            Prije rješavanja postavljenog problema potrebno je opisati još jednu bitnu metodu koja se koristi u ovom solveru. Ta metoda je ograničavanje vrtložnosti koja služi za izbjegavanje numeričke disipacije i čini prikaz dima realističnijim.

OGRANIČAVANJE VRTLOŽNOSTI

Uobičajeno je da mješavine zraka i dima sadrže veće prostorne devijacije udružene sa značajnim količinama rotacionih i turbulentnih struktura različitih razmjera (npr. dim cigarete). Nefizikalna numerička disipacija, koju mnoge numeričke metode imaju za posljedicu,  guši ta interesantna svojstva plinova. Cilj ovog pristupa je "vraćanje" tih fenomena nazad u mrežu prikaza.

Glavna ideja ograničavanja vrtložnosti je izračun stabilnih vrtložnih struktura malih razmjera koje (u izolaciji) mogu propagirati nedefinirano dugo. Unatoč tome što VC jednadžbe mogu biti napisane kao diskretizacija sustava parcijalno diferencijalnih jednadžbi, dobiveno rješenje na pojavama malih razmjera nije točno (čak ni aproksimacijski) rješenje orginalnih jednadžbi. Zbog toga VC metoda pronalazi, ili modelira, pojave malih razmjera kroz samo par mrežnih ćelija, te je diskretizacijska pogreška reda samo O(1). Kao takva, prateća pojava je efektivno nelinearan izdvojeni val koji "živi" na mrežnoj rešetki. Za veće razmjere, VC se reducira u odabranu CFD metodu, u kojoj je diskretizacija navedenih parcijalno diferencijalnih jednadžbi točna. 

            VC jednadžbe su diskretizirane jednadžbe kontinuiteta i momenta s dodatnim izrazom:

                                                                                

                        ,                    (4.11)

Tumačenje jednadžbi je jednako kao i kod N-S jednadžbi, samo što:

• μ-koeficijent difuzije koji kombinira numeričku disipaciju i fizičku viskoznost (koja je mnogo manja pa se može zanemariti)
• ε-numerički koeficijent koji kontrolira "uvjet kontrakcije" - s  (engl. contraction term)

Kombinacija μ i ε kontrolira pojave najmanjih razmjera. Uvjet kontrakcije korišten u VC2 je harmonička sredina dana sa:

                                                                           (4.12)

 gdje je:

                                         (4.13)

i

                                                (4.14)

    U ovom izrazu  je vektor vrtložnosti, l je korišten za definiranje (N točaka) matrice na kojima je izračunata srednja harmonička vrijednost i δ je mala pozitivna konstanta (10^-8) koja se koristi za prevenciju konačnih računskih grešaka u preciznosti. Harmonička srednja vrijednost je odabrana tako da najmanje vrijednosti u matrici imaju veće težine. Može se koristiti ograničavajući izraz baziran na minimumu funkcije, međutim dokazano je da je bolje koristiti glatke funkcije kao što je navedena harmonička sredina.