4. Reakcija na sudar

4.1 Prikaz tijela

Kod simulacije gibanja krutog tijela koristi se sličan model kao i kod simulacije gibanja čestica. Za simulaciju gibanja čestice potrebna su dva parametra, a to su vektor pozicije i vektor brzine. Na promjenu pozicije ne djeluje se direktno nego preko promijene brzine pomoću postupka integracije. Položaj krutog tijela u prostoru određen je pozicijom centra mase te orjentacijom. Orjentacija se u 3D prostoru određuje pomoću kvaterniona ili pomoću 3D matrice rotacije. Kod simulacije krutih tijela kvaternioni su bolji način za prikaz orijentacije zbog toga što su manje podložni greškama zaokruživanja koje se akumuliraju kod rotacije od matrica.

4.2 Određivanje reakcije na sudar

Jednom kada je sudar detektiran, potrebno je odrediti reakciju na sudar. Očita stvar koju trebamo napraviti jednom kad je sudar detektiran bila bi primjeniti sile na oba objekta, ali to nebi bilo dobro riješenje. Sila neće spriječiti objekte da prođu jedan u drugi jer sila ne može trenutno promijeniti brzinu. Sila mijenja brzinu integracijom kroz vrijeme, a pošto se u trenutku kad je detekiran sudar tijela već dodiruju nemamo dodatno vrijeme u kojem sila može promijeniti brzinu. Potrebno je trenutno promijeniti brzinu, a to se postiže uporabom impulsa. U stvarnom sudaru sudaru događaju se komplicirane stvari koje ne možemo direktno simulirati. Zato se proces sudara aproksimira idealiziranim modelom. Impuls možemo promatrati kao jako veliku silu koja dijelu jako kratak vremenski period. Impuls mijenja moment trenutno što rezultira trenutnom promjenom brzine, te sprječava objekte da prodru jedan u drugi. Središnji problem reakcije na sudar je računanje tog impulsa.

4.3 Određivanje impulsa sudara

Postoji mnogo načina na koji se računa vrijednost i smjer impulsa. Mi u našoj simulaciji pretpostavljamo da u sudaru ne postoji trenje, pa je jedina sila tijekom sudara ona u smjeru vektora normale n. Trenje bi uzrokovalo i silu okomitu na normalu.

Početne brzine prije sudara točaka sudara određuju se iz sljedećih izraza:

vap1 = va1 + wa1 × rap     (4.1)

vbp1 = vb1 + wb1 × rbp     (4.2)

gdje su: va1 i vb1 brzine centra mase 2 tijela prije sudara, wa1 i wb1 kutne brzine 2 tijela prije sudara, a rap i rap vektori od centra mase tijela do točke sudara.

Na sličan način određuju se brzine točaka nakon sudara:

vap2 = va2 + wa2 × rap     (4.3)

vbp2 = vb2 + wb2 × rbp     (4.4)

Sada pronalazimo relativne brzine točaka koje se sudaraju.

vab1 = vap1 - vbp1

vab2 = vap2 - vbp2

Gdje je vab1 početna, a vab2 konačna relativna brzina točaka sudara.

Koristeći izraze 4.1 i 4.2, odnosno 4.3 i 4.4 za brzine točke na tijelu ove formule možemo proširiti na sljedeće:

vab1 = va1 + wa1 × rap - vb1 - wb1 × rbp     (4.5)

vab2 = va2 + wa2 × rap - vb2 - wb2 × rbp     (4.6)

Ako uzmemo da je n normala sudara, a e koeficijent elastičnosti sudara gornja dva izraza možemo povezati sljedećom formulom:

vab2 • n = -e vab1 • n     (4.7)

Impuls sudara je j n, gdje je j parametar koji moramo odrediti. Objekt A osjeća impuls j n, dok na objekt B djeluje po iznosu isti, ali smjerom suprotni impuls - j n. Impuls je promjena inercije, te ako ga podijelimo sa masom dobivamo promjenu brzine:

va2 = va1 + j n / ma     (4.8)

vb2 = vb1 - j n / mb     (4.9)

Promjena zakretnog momenta objekta A uzrokovana impulsom j n dana je izrazom rap × j n. Promjena u zakretnom momentu dijeli se sa momentom inercije kako bi dobili promjenu u kutnoj brzini. Kutne brzine nakon sudara dobivaju se iz izraza:

wa2 = wa1 + [Ia]-1(rap × j n)     (4.10)

wb2 = wb1 - [Ib]-1(rbp × j n)     (4.11)

Koristeći gornje jednadžbe možemo riješiti impulsni parametar j . Krećemo od izraza 4.7 te ga proširujemo izrazom 4.6:

vab2 • n = -e vab1 • n

(vap2 - vbp2) • n = -e vab1 • n

(va2 + wa2 × rap - vb2 - wb2 × rbp) • n = -e vab1 • n

Zatim tu jednadžbu proširujemo jednadžbama 4.8 – 4.11 te dobivamo:

((va1 + j n / ma) + (wa1 + [Ia]-1(rap × j n)) × rap - (vb1 - j n / mb) - (wb1 - [Ib]-1(rbp × j n))× rbp) • n = -e vab1 • n

Pošto lijeva strana sadrži izraze za vab1 • n dane izrazom 4.5 prebacujemo ih na desnu stranu te dobivamo:

(j n / ma + [Ia]-1(rap × j n) × rap + j n / mb + [Ia]-1(rbp × j n) ×rbp) • n = -(1 + e) vab1 • n

n je normaliziran pa vrijedi da je n • n = 1. Daljnjim sređivanjem dobivamo:

j (1 / ma + 1 / mb + (rap × n)• ([Ia]-1(rap × n)) + (rbp × n)• ([Ib]-1(rap × n)))= -(1 + e) vab1 • n

Dijeljenjem dobivamo konačan izraz za j:

j=-(1 + e) vab1 • n / (1 / ma + 1 / mb + (rap × n)• ([Ia]-1(rap × n)) + (rbp × n)• ([Ib]-1(rap × n)))

Istu jednadžbu možemo koristiti i za sudar između objekta i zida koristeći pretpostavku da je masa zida beskonačna, pa imamo mb = beskonačno i [Ib]-1 = 0 te jednadžba poprima sljedeći oblik:

j=-(1 + e) vap1 • n / (1 / ma + (rap × n)• ([Ia]-1(rap × n)))