|
U slijedećoj raspravi, vektor u predstavlja brzinu fluida. Tlak (skalar) bit će predstavljen sa  , a gustoća fluida sa p(gustoća je također skalar, ali za njezinu vrijednost većinom uzimamo 1, iz razloga što je gustoća vode veoma blizu 1). Skalar  predstavlja kinematički viskozitet fluida. Jednadžbe gibanja viskoznog nestlačivog fluida su Navier-Stokes-ove jednadžbe.
|
(1) |
|
(2) |
Jednadžba (1) nam govori da vektor brzine ima divergenciju 0. To u pojednostavljenom značenju glasi; količina fluida koja uđe u neko određeno infinitezimalno područje jednaka je količini fluida koja iz tog područja izađe. To je očuvanje mase za nestlačive fluide. U stvarnosti niti jedan fluid nije nestlačiv, ali nestlačivost se pretpostavlja za fluide koji se gibaju malim brzinama, zato jer je stlačivost zanemariva i takva pretpostavka omogućava vrlo prikladno rješenje za tlak (opisano nešto dalje). Eksplozije, let mlaznih zrakoplova na nadzvučnim brzinama i slične situacije proračunavaju se pomoću drugih formula.
Jednadžba (2) opisuje očuvanje momenta i sastoji se od nekoliko dijelova. Čitajući s lijeva na desno jednadžba objašnjava da je trenutna promjena brzine fluida na zadanoj poziciji jednaka sumi četiriju uvjeta; advekciji fluida, difuziji, promijeni tlaka i vanjskim silama. Vektor  je derivacija brzine fluida po vremenu. Za parcijalnu derivaciju koristit će se primjerene oznake (i.e.  ). Izraz za advekciju koristi se za određivanje smjera u kojem okolni fluid potiskuje infinitezimalno područje unutar tog fluida. Rijeka brzog toka je sredina u kojoj prevladava advekcija, kada se u takvu rijeku ulije mala količina vode, ta ista bit će brzo odnesena riječnim tokom. Izraz za difuziju opisuje koliko brzo se poništi razlika u brzinama unutar fluida koji okružuje zadanu točku. Vrijednost je kinematički viskozitet fluida, i povisivanjem te vrijednosti, smanjuje se vrijeme koje je potrebno da se poništi razlika u brzinama. Treći izraz je izraz za razliku u tlaku i opisuje kako se mali dijelovi fluida potiskuju iz područja višeg tlaka u područja nižeg tlaka. Posljednji vektor f opisuje vanjske sile po jedinici mase, koje djeluju na fluid u cijelosti. U većini slučajeva f je samo gravitacija, ali također može biti rotacija Zemlje, vjetar ili bilo koje drugo, od strane korisnika, određeno vektorsko polje.
Da bi netko razumio Navier-Stokes-ove jednadžbe, mora također razumjeti i matematičke znakove korištene unutar njih.
Diferencijalni vektor  , koristi se sa skalarom da bi se dobio vektor za razliku tlakova:
|
(3) |
Divergencija  je diferencijalna operacija na vektoru, npr. , čiji produkt je skalar:
|
(4) |
Laplace-ov operator,  , je skalarni diferencijalni operator i koristi se kao dio jednadžbe konstantnog viskoziteta. Laplace-ov operator na skalar je:
|
(5) |
|
|
