Pozadina računalne dinamike fluida

Računalo, očito ne može riješiti Navier-Stokes-ove jednadžbe za beskonačan broj točki unutar kontinuirane domene, da bi se rješile jednadžbe (1) i (2), treba se odabrati diskretna domena. Ovo poglavlje opisuje diskretnu domenu za računanje, znanu kao MAC mreža i numeričku metodu poznatu kao konačne razlike (finite diferences), da bi se Navier-Stokes-ove jednadžbe rastavile na djeliće veličine jednog bita koje računalo može riješiti. Prvo se opisuje MAC mreža. MAC mreža dobila je naziv prema Marker-And-Cell metodi simulacije fluida sa slobodnim površinama koja je prvi put opisana 1965 od strane Harlow-a i Welch-a [2]. MAC pristup je dobro opisan u nekoliko drugih radova, ali u nadi da ovaj rad bude zaseban i da se popune neke praznine oko 3D dijelova prijašnjih opisa, jedna metoda bit će opisana ovdje. Prvo ćemo definirati MAC mrežu i pozadinu konačnih razlika potrebnu da se shvati Marker-And-Cell postupak.

MAC mreža

Ćelije u prostoru simulacije su jednako velike kocke ili "voxels", sa stranicama dužine . Dva tipa varijabli mobu biti pohranjeni u ćeliji; skalarna vrijednost ili vektor. Sve skalarne vrijednosti smještaju se u centar ćelija koji se ponekad naziva i čvorište ćelije. Sve vektorske vrijednosti smještaju se u razmaknutom rasporedu, prema kojem se x komponenta smješta na lijevu stranicu kocke, y komponenta na donju stranicu, a z komponenta na stražnju stranicu kocke. Te vrijednosti se ponekad nazivaju čvorišta stranica. Simulator fluida opisan u ovom tekstu sprema dvije vrijednosti u svaku ćeliju: tlak i brzinu. Skalarna vrijednost tlaka p sprema se u čvorište ćelije, a vektor brzine rastavlja se na komponente i svaka od njih se smješta u odgovarajuće čvorište stranice. Jedna ćelija na lokaciji i,j,k je prikazana na slici 1. Trebalo bi spomenuti da mnogi drugi izvori koji opisuju MAC metodu koriste polovinsko notiranje (half index notation). Ako netko poželi prevesti notiranje korišteno u ovom radu na polovinsko notiranje, tada samo treba oduzeti 1 na odgovarajućem čvorištu stranice (npr. x komponenta brzine u našoj notaciji je u polovinskoj notaciji).

Slika 1: Ćelija u MAC mreži.

Često su potrebne vrijednosti za varijable koje se ne nalaze na čvorištima ćelija ili stranica, da bi se dobile te vrijednosti koristi se trilinearna interpolacija. Čvorište ćelije koje se nalazi na lokaciji i,j,k u MAC mreži, u prostoru simulacije nalazi se na lokaciji . Indeksiranje je bitno kada se uzimaju u obzir interpolirane vrijednosti sa lokacija MAC mreže. Vrijednost varijable na interpoliranoj lokaciji , notira se . Jedan specifičan primjer toga je vektor brzine u čvorištu ćelije,

(6)

gdje je svaka komponenta vektora spremljena na istoj lokaciji. To se razlikuje od brzine spremljene na lokaciji i, j, k u MAC mreži koja glasi

(7)

i čije su komponente spremljene na tri različite lokacije.

Ta računska mreža ima dimenzije i indeksirana je sa , , . Kao što je već spomenuto, ćelije na vanjskom rubu domene su granične ćelije, tako da fluid može postojati samo u ćelijama gdje je , , i . Veličina simulacijskog prostora se određuje širinom u metrima, tada je .

Konačne razlike

Konačne razlike se koriste da bi se mogle riješiti Navier-Stokes-ove jednadžbe u MAC mreži. Diskretna konačna razlika gradijenta, jednadžba (3) za razliku tlaka u ćeliji i,j,k, je vektor, a svaka od komponenata se rješava na odgovarajućem čvorištu stranice.

(8)

Konačna razlika divergencije, jednadžba (4) brzine na ćeliji i, j, k je skalar

(9)

i pohranjena je u čvorištu ćelije.

Konačne razlike prikazane gore imaju točnost prvog stupnja. Konačne razlike koriste Taylor-ov red da bi se približno odredio rezultat. Točnost određivanja je uvjetovana brojem stupnjeva do kojeg se razvija Taylor-ov red. Točnost prvog stupnja znači da se koristi samo jedan stupanj. Ako se red razvije do drugog stupnja, određivanje bi imalo točnost drugog stupnja. Konačna razlika Laplace-ovog operatora ima točnost drugog stupnja. Kada se to primjeni, Laplace-ov operator glasi:

(10)

Do sada smo usmjerili raspravu samo na prostorne izračune, ali vremenski izračuni su također potrebni da bi se odredilo . Uzmimo u obzir jednostavnu linearnu jednadžbu.

(11)

gdje je neka konstanta. Točno rješenje gornje jednadžbe propada. Euler-ova verzija te linearne jednadžbe glasi:

(12)

Superscript notiranje se koristi za predstavljanje vremena. Trenutno vrijeme se označava sa n, tako da vrijednost u u određenom vremenskom koraku glasi . Vremenski korak predstavlja razmak između koraka n i koraka n+1. Ove jednadžbe koriste se za eksplicitne vremenske izračune, što govori da je desna strana jednadžbe (12) već otprije poznata. Takve jednadžbe je lako riješiti, ali one iziskuju korištenje kriterija za stabilnost koji ograničava veličinu .

Stabilnost je veoma važno područje numeričkih izračuna, ali kada bi se više posvetili toj temi, skrenuli bi od cilja ovog poglavlja. Ovo poglavlje je pokušaj da čitatelji osjete što je stabilnost bez obraćanja mnogo pažnje Von Neumann-ovoj analizi o stabilnosti.

Promotrite jednadžbu (12) s novim rasporedom

(13)

Sada promotrite izraz nazvan pseudo-prirast , koji se koristi za analizu vremenskih izračuna:

(14)

Ideja je da ostane malen, ali kada se primjeni na jednadžbu (13) on izluči

(15)

tako da pseudo-prirast raste proporcionalno sa i . Prema tome, da bi se očuvala stabilnost prema Euler-ovim jednadžbama, vremenski korak mora postati manji svaki put kada postane veći.